Termíny zkoušek

Příklady otázek ke zkoušce z teorie množin

otázky

• historie a důvody pro zavedení axiomatické teorie množin
• axiomy Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin a jejich intutivní zdůvodnění
• definice neuspořádané a uspořádané dvojice a důkaz jejich vlastností
• skládání a inverze relací a funkcí
• základní vlastnosti funkcí (zobrazení na, prostá funkce, bijekce)
• vysvětlete rozdíl mezi axiomem a schematem axiomů
• vysvětlete pojmy množina, třída a vlastní třída, a k čemu jsou třídy dobré
• rozklady množin a ekvivalence
• uspořádání (největší prvek, maximální prvek, supremum, svazové uspořádání, izomorfní uspořádání)
• definice "stejné mohutnosti" a "menší nebo rovné" a jejich základní vlastnosti
• Cantorova věta o tom, že mohutnost množiny všech podmnožin je větší než mohutnost dané množiny
• Cantorova-Bernsteinova věta
• definice přirozených čísel
• definice konečných množin (uveďte alespoň dvě), spočetné množiny
• princip indukce
• rekurzivní definice sčítání a násobení
• Peanova aritmetika
• axiom výběru a jeho důsledky (kladné a záporné)
• princip maximality
• princip dobrého uspořádání
• neexistence translačně invariantní míry

• definice ordinálních čísel a jejich základní vlastnosti
• transfinitní indukce a rekurze
• definice sčítání, násobení a umocňování ordinálních čísel a jejich algebraické vlastnosti
• Cantorova normální forma, epsilon_0
• konstruktivní ordinální čísla, Gamma_0
• znění a hlavní myšlenky důkazu Goodsteinovy věty, Herkules a saň
• definice a základní vlastnosti kardinálních čísel; uveďte i alternativní přístupy k definici a zmiňte se o významu axiomu výběru
• definice aritmetických operací na kardinálních číslech, funkce alef a jejich základní vlastnosti
• porovnejte aritmetické operace na ordinálních číslech s operacemi na kardninálních číslech
• Cantorova hypotéza (CH), její zobecnění a její nezávislost na axiomech ZFC
• platnost CH pro uzavřené množiny
• kofinalita, regulární a singulární kardinální čísla, regularita izolovaných kardinálních čísel
• velká kardinální čísla a neúplnost teorie množin, srovnání s CH
• nedosažitelná a Mahlova kardinální čísla
• Ramseyova věta a slabě kompaktní kardinální čísla
• fundované relace, fundovaná indukce a fundovaná rekurze

úlohy

• napište formuli definující supremum
• zapište formulí násldující větu: ke každému prvku množiny x existuje prvek množiny y, který je s ním disjunktní
• z axiomů dokažte existenci a vlastnosti kartézského součinu dvou množin
• nakreslete Hasseho diagram uspořádání, které není svazové
• rozhodněte, zda platí: jestliže existuje zobrazení z množiny x na y, potom existuje prosté zobrazení z y do x
• dokažte, že sjednocení spočetné množiny spočetných množin je spočetná množina
• příklady probírané na cvičeních
• může mít sjednocení < kappa monžin mohutnosti < kappa mohutnost
  1. menší než kappa?
  2. rovnou kappa?
  3. větší než kappa?
  závisí to na kappa?
• uveďte příklad netriviální stacoinární podmnožiny omega_2, (konkrétně, aby neobsahovala uzavřenou neomezenou podmnožinu)
• může být mohutnost kontinua (tj. množiny všech reálných čísel) nedosažitelné kardinální číslo?
• definujte 1. realci, 2. strom s typovými funkcemi rovnými omega_1
• jaký je nejmenší počet nekonečných kardinálních čísel v ZFC bez schematu nahrazení?

1. při zkoušce po letním semestru budu vyžadovat i znalosti ze zimního semestru
2. tyto seznamy nejsou vyčerpávající, můžete dostat i otázky, které nejsou na seznamech

Literatura